Cammino casuale a una dimensione. Random walk

Supponiamo che un individuo (particella, costituente elementare) si sposti in una direzione seguendo le seguenti regole:

1. Ogni passo è uguale all'altro e di lunghezza L.
2. Ogni passo è a destra o a sinistra in modo casuale.

Quindi le probabilità Pd (probabilità di fare un passo a destra) e probabilità qs (probabilità di fare un passo a sinistra) sono uguali, Pd=qs=1/2.

Se Ns è il numero di passi a sinistra e Nd il umero di passi a destra, e N il numero totale di passi, N=Ns+Nd. Allora

P(Ns,nd)=( N/Ns Nd ) q(ns) p(nd) =( 1/Lª ) ( N/Ns Nd ). Legge di Bernoulli.

Per definizione la distanza x percorsa al tempo t è x = ( Nd-Ns ) L.

Se Nd-Ns = m, allora ______Nd = ( N + m ) / 2 ____Ns = ( N - m ) / 2.

P ( Nd, Ns ) = P ( N, m ) = ( 1/2ª ) ( N / ( Nd Ns ).

Per grandi numeri N l'equazione binominale tende alla distribuzione di GAUSS: P ( N, m ) = 2 / pN exp ( -m²/2N )

con ð = N e le probabilità di trovare una particella elkl'intervallo Dx dopo N passi sarà:

P ( N,x ) Dx = 1/2pNL² exp ( -x²/2NL² ) Dx

per Ax piccoli, Ax ~ x/L. Così come abbiamo eliminato la variabile m possiamo eliminare N, in modo da scrivere la nostra probabilità come funzione de tempo t, in cui ci sono stati N passi, cioé P = P ( x,t ), definendo T tale che t = NT, ( T tempio medio di un passo ).

Quindi la densità di probabilità che un individuo partendo dalle condizioni iniziali x = 0, t = 0 sia il tempo t nella posizione x sarà :

con D = L²/ 2T, che possiamo chiamare coefficiente di diffusione.

In conclusione la distribuzione è una gaussiana di valore medio <x> = 0 e di distanza quadratica media