Dimensione frazionale
A.PICCATO, Dizionario dei termini matematici, Milano, Rizzoli, 1987, pag.175
I problemi connessi al confronto di lunghezze infinite e di superfici infinitesimali sono in realta due facce di una stessa moneta. Il
ventesimo secolo ha portato con se un bisogno disperato di metodi completamente nuovi per misurare lo spazio e le
dimensioni. Due matematici, Felix Hausdorff e Abram S. Besicovitch, hanno affrontato vittoriosamente questa sfida. Essi non
solo hanno letteralmente scoperto nuove dimensioni, ma hanno anche ridefinito il concetto stesso di dimensione.
Tradizionalmente, qualsiasi forma ha una dimensione che puo essere 0 (un punto), 1 (rette e curve), 2 (piani e superfici) o 3
(spazio). A queste dimensioni si e poi aggiunta una teorica quarta dimensione, e dimensioni intere superiori sono state
vagamente ipotizzate. Besicovitch, sviluppando il lavoro precedente di Hausdorff, ha ipotizzato che delle forme possano avere
dimensioni frazionarie, come 1.5 o 2.3. Figure come quelle di Sierpinski e Koch ricadrebbero allora nel mezzo delle
dimensioni ordinarie e molte delle loro anomalie comportamentali potrebbero trovare una spiegazione. Questa nuova
dimensione puó essere calcolata basandosi su misurazioni ricavate da semplici approssimazioni di una curva.
Piu specificamente, la dimensione di Hausdorf/Besicovitch si definisce come il rapporto tra il logaritmo del numero di copie e
quello della dimensione della forma originale rispetto a ogni copia.